Mathematische Skulptur

Stella octangula (auch: Keplerstern)

Standort: Abtei Jovilliers, Stainville, Lothringen.

Die Bezeichnung Stella octangula (lat. achtzackiger Stern) für diesen Körper geht auf Johannes Kepler (1609) zurück. Stella octangula ist aber bereits in Luca Paciolis und Leonardo da Vincis Werk De Divina Proportione 1509 abgebildet, dort als Octocedron eleva ("erhöhtes Oktaeder") bezeichnet, vgl. matematicasvisuales.com. Mit "erhöhtes Oktaeder" ist Folgendes gemeint. Wie dieses Papiermodell des Stella octangula zeigt, lässt sich der achtzackige Stern zunächst auffassen als zwei sich gegenseitig durchdringende Tetraeder:

[Foto: Wikimedia Commons]

Jeder der beiden Tetraeder ist das Dual des anderen: die vier Ecken des einen entsprechen den vier Seitenflächen des anderen (und umgekehrt), wobei benachbarte Ecken bzw. Flächen durch eine Kante verbunden sind. Diese Darstellung lässt erkennen, dass Stella octangula "im Inneren" ein Oktaeder enthält; genauer: die Schnittmenge der beiden sich durchdringenden Tetraeder ist ein Oktaeder:

»Dieses Objekt ist aus 8 dreiseitigen Pyramiden gebaut, die man mit dem Auge sehen kann, und einem Oktaeder im Inneren, das sich nur der Vorstellungskraft erschließt.«
[Luca Pacioli, 1509]

Diesen Oktaeder "im Inneren" sieht man wie folgt: die einspringenden Kanten des Stella octangula entsprechen gerade den Kanten des Oktaeders; und dort, wo sich zwei Kanten des Stella octangula kreuzen (und 8 seiner Seitenflächen zusammentreffen), liegen die Ecken des Oktaeders. Der Stella octangula lässt sich mithin als "Sternung" des Oktaeders auffassen: auf jede der 8 (dreieckigen) Seitenflächen des Oktaeders ist ein kleines Tetraeder aufgesetzt, dessen Kanten genau so lang sind wie die Kanten des Oktaeders. Die Animation auf matematicasvisuales.com illustriert den Vorgang. (Man beachte jedoch, dass dieser Vorgang ein anderer ist als beim Dodekaederstern, wo sich die Größe der aufgesetzten Pyramiden aus den Winkeln ergibt.) Im Englischen heißt Stella octangula denn auch Stellated octahedron (Oktaederstern).

Mehr: [ Wikipedia ] [ Wolfram's MathWorld ]

[Foto Skulptur: 4/2006 MOSSOT, Wikimedia Commons. Lizenz: Creative Commons Zuschreibung]